昨天上午在给六年级学生辅导数学作业时，我的一个学生带着一种神秘而疑惑的神情问了我一个问题：“老师，一平方千米等于多少平方米？” 然后期待着我给出的答案。
我随即就告诉了他我的答案（各位读者，你们认为是多少呢？）他应该是印证了学校老师的答案和我的答案是一致的，一脸欣欣然的样子。但同时我也看出了他脸上所表露出来的疑惑，应该是没有明白为什么会是这样一个答案。
我虽然没有直接问他，对于这样一个单位换算的题，他最初是怎么想的。（我应该是要问一问他，但不知为啥没有问，而是转而直接跟他解释起来，现在想想，应该要先问问他，能更清楚地知道他的想法。当时讲得也有点快且乱，所以今天想用文本加图片的形式详细讲一讲这个问题，下次直接拿给学生看，应该更一目了然。）
但我大概能猜测出来，他的想法，我想他一定认为1平方千米=100平方米，因为他记得平方厘米，平方分米，平方米之间的进率都是100，所以他想当然的认为平方千米与平方米之间的进率也是100。但他同时又忽略了另一个他知道的常识：1千米=1000米。1厘米，1分米，1米这三个长度单位之间的进率是10，自然面积单位1平方厘米，1平方分米，1平方米之间的进率就是100。可是1千米=1000米，还能用平常那个进率为100的想法吗？
如果真是这样认为的，只能说明大多数学生在数学学习时，用的是记忆，而不是理解后的推理思维。下面我想用我的方式细细讲解一下。如何在理解之后，进行推理，而不是死记硬背地做数学题目。
上图中有3个单位，分别是长度单位，面积单位，体积单位, 以常用的单位厘米来举例。图片中，从左到右依次是：
1厘米是长度单位，是一维的。直直的一条线而已。
1平方厘米是面积单位，是二维的。
从图形的角度来说，平铺开，且方方的，说白了平方其实就是正方形。
1立方厘米是体积单位，是三维的。
从平面到立起来，方方的，说白了立方其实就是正方体。
今天重点说“平方”， 为什么学生会出现上面我所讲的疑惑，我想根本原因在于他不理解什么是平方，他的脑海中没有把平方图形化成正方形。
正方形可以随着边长的长短，可大可小。如果把正方形标准化，数量化，就会有形形色色的表达。
边长为1厘米的正方形 或是 面积为1平方厘米的正方形
边长为2厘米的正方形 或是 面积为4平方厘米的正方形
边长为3厘米的正方形 或是 面积为9平方厘米的正方形
等等，无数个大大小小的正方形。
通过以下图形，应该能更好地明白：
（也能明白面积公式为什么是边长*边长，如果以1平方厘米为标准，那么其它相对大的正方形的面积，其实就是看能分割出有多少个1平方厘米的正方形。）：
大多数学生都知道1分米=10厘米，1平方分米=100平方厘米，上图一目了然，我们应该常常以图形的形式，经常让孩子自己多动手画画图，把文字，数字，算式多用简化的图形来呈现，以期让孩子逐渐形成数形结合的思维。正是因为长期缺乏这个动作，所以很多学生不能产生这样的直觉的图形联想。
1平方厘米，是边长为1厘米的正方形
1平方分米，是边长为10厘米的正方形，也可以说是边长为1分米的正方形
以此类推，1平方米，可以说成是边长为100厘米的正方形，也可以说成是边长为10分米的正方形，边长为1米的正方形。
所以就有1平方米=10分米*10分米=100平方分米
(你可以想象1平方米的正方形被分割成了100个整齐排列的1平方分米的正方形)
1平方米=100厘米*100厘米=10000平方厘米
（你可以想象1平方米的正方形被分割成了10000个整齐排列的1平方厘米的正方形）
当学生问我一平方千米等于多少平方米的时候？你们知道我在想什么吗？我是如何快速告诉他我的答案的呢？难道你们以为我在背数学公式？其实我就是在进行图形化联想，然后做个简单的乘法算式，就得出了答案。
那么一平方千米呢？是个什么样的正方形呢？它的边长是多少呢？一千米等于多少米，这个问题学生们普遍都知道，但是为什么会不知道一平方千米等于多少平方米？
我想主要的原因有：
- 对于“平方”的理解不到位，只是知道有平方这个词，而不知字面下的深意。
- 数字，符号，算式 图形转化思维不够。等等方方面面的原因。
那么，你们现在知道1平方千米=平方米了吗？
再加一个生活中的面积单位考考各位：1公顷=平方米呢？1公顷是个什么样的正方形呢？如果你知道1公顷的正方形边长是多少米？那么自然很快就能推演出1公顷=平方米。
我们需要形象理解后，再逻辑推理，数学更多的时候应该这样学习。
